放大和缩小的计算技巧：以确定圆周率为例

手工计算时代需要基于数据精度考虑具体的计算方式，放大、缩小和求平均，就是技巧之一。

(1)Basel问题

自然数平方的倒数之和是收敛的，欧拉得到其*限为π2/6

张江敏.疯狂的绝技——级数加速收敛的艺术http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1075769.html

级数平方衰减，截断到前n项的和Tn，则误差在1/n量级。不过，若想结果精确到小数点后三位，并不需要计算到1000项——对没有计算的余项可进行估算呢。

若圆周率误差为δ，则(π+δ)2/6=π2/6+πδ/3+δ2/6，因而级数的误差和与π的误差δ相当。

由前10项的和T10确定的π为3.049362，修正1/(10+1)之后，则π为3.137525；

修正1/2(10+1)^2=0.004132后,得到π=3.141473

与真值3.141593，仅相差0.000120。

(2)割圆术

半径为1的圆，内接正6边形边长b6=1，

n边形边长bn，b2n=sqrt(2–sqrt(4–bn2))；

n=6×2^k边形边长Ak=sqrt(2–Bk),式中

Bk=sqrt(2+sqrt(2+…+sqrt(2+sqrt3)…)),k–1次开方

正2n边形面积S2n=nbn/2，*限是圆周率π。

这就是魏人刘徽公元263年创立的割圆术，其以6×2^4=96边形的边长确定圆周率3.14。

通常认为，南朝祖冲之(429~500年)得到圆内接6×2^11=12288边形的边长，确定圆周率精确至小数点后7位。这是非常困难的：为了保证π的精度，B11=1.9999……需要16~17位有效数字。祖冲之所著《缀术》失传，具体计算方法难以知道；但他肯定知道有效数字随着边数的增加不断减少，进而研究提高精度的途径。

刘徽割圆4次至96边形的结果可以写为

S192=S12+(S24–S12)+(S48–S24)+(S96–S48)+(S192–S96)

S12=3；而**次割圆增加量即S24–S12=0.1058285412；第二次增加量减少，只是**次的0.253240倍，第三次、四次增加量是其前次增加量的0.250805和0.250201倍。

割圆引起的面积增加比值D逐次减小而趋于0.25即1/4。继续割圆的面积增加，若以1/4的比例计算，即弓形面积为(S192–S96)/3是缩小的估算；而以D96的比例计算，即弓形面积为(S192–S96)*D96/(1–D96)是放大的估算。于是有3.14159253<π<3.14159313。以上数据是Excel计算的，所列数字都是有效的。

如果以12位数字计算到192边形(k=5)，即可得到祖率3.1415926<π<3.1415927，即比刘徽多割一次即可。我想，当年祖冲之就是这样做的。

又，若注意到割圆引起的面积增加比值与1/4的差异也以1/4的比率减小，因而圆周率会接近于下限，即对上下限求平均并不能提高精度；不过，若依据D96估计D192=0.250050进而计算(S384–S192)，即可得到祖率而不必具体计算192边形的边长。

1/8=0.125，1/6=0.166667，而1/7=0.142857…，那么3又1/7即22/7就是圆周率的偏大估计。将1/7修改为P=1/(7+1/n)即n/(7n+1)，其在1/8~1/7之间；选择合适的n可以提高精度。计算5次即可得到祖率355/113

n=10，P=0.1408451;n=20，P=0.1418440

n=15，P=0.1415094;n=17，P=0.1416667

*后可确定n=16，P=0.1415929

(3)此情可待成追忆

1994年初搬入两室一厅的新居，有了独立的书房。过年无处可去而翻看旧书，觉得祖冲之似乎不会割圆11次计算圆周率；于是，用十位数字的计算器Casiofx-4500p略作演算，写出“割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测”。敝帚自珍，多次投稿后发表于《安阳师范学院学报》的2003年第2期；也曾在博客介绍http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-776036.html。

书上铅笔所写的结果已经不清楚啦。24年也就要过去了。

照片中小册子“夏道行.π和e”1964年第1版，但是1978年重印的，3万6千字，定价0.15元；“张弛.不等式”，5万8千字，定价0.22元。也就是二、三两猪肉的钱——其时含骨统肉一斤0.73元。

1978年暑假后坐船6小时到县城上高中，自己手中也就有了一点零花钱，时常去学校对门的新华书店看看，偶尔也买本书。我觉得读书比做题要好，只是那时候书籍很少啊。

*后给出当年发现的一个结果，只要记得sqrt(5)=2.236就行啊

附录：多次投稿也就是多次退稿啊。下面所展示的投稿 也是被退啊。二十年已经过去了。

从写作到发表用了九年时间。也花了点功夫呢，只是博文里说得简单。现在条件好啊，若做出题目，真不必再三再四投稿，完全可以在博客贴出来。有人看就行。

那时投稿还要到邮局寄纸质文本，有些刊物要审稿费，有些刊物说“6个月未见录用通知可自行处理”，有些刊物因“人力所限来稿概不退还”。文章手工抄写不易，且害怕重抄出错，*初投稿时多说“随信寄上贴足邮票、写好地址的回程信封；若拙稿不能采用，烦请掷回”。当然，