霍奇理论 Hodge Theory （五）

图1. 清华园荷塘月色，水清木华。（尹光作）

这一周，老顾访问了许多国内的大学和研究机构，从蓊郁苍翠的珞珈山麓到斜阳残雪的未名湖畔，从数理学院到信息学院，老顾拜访了许多学界前辈，挚友同袍和后起之秀。与数学家攀谈，不出三句，必执粉笔在黑板上推演偏微分方程，探讨解的存在性，**性和正则性，阐释方程背后的几何直觉；与计算机科学家攀谈，谈至半酣处，必抽出笔记本电脑，演示程序，探讨应用前景，畅想产业化未来。与人大林教授讨论离散图上的调和函数梯度估计（Gradient Estimate on Graph），同武大陈院长谈论蒙日-安培方程(Monge-Ampere Equation)，同武大徐教授推演离散Ricci曲率流 （discrete Ricci flow）的理论，与北大袁教授探讨图的可视化（Graph Visualization）, 同北大汪教授探讨基于射影几何的（Projective Spline）样条理论。老顾向前辈和同行们学习了许多前沿知识，切磋技艺，交流思想。老顾访问了许多纯粹数学出身的学者，后来因缘际会，转向计算数学或者工程领域。他们依然深沉地迷恋理论的优美，同时对于实际应用具有深刻的见地。闫博士的满墙藏书令我叹服，几乎所有数学领域的经典著作都被他典藏，从微分拓扑到偏微分方程理论。闫博士关于椭圆型偏微分方程理论的阐述，高屋建瓴，酣畅淋漓。

北京初冬，重度雾霾，天昏地暗，日月无光，毒雾弥漫，阴霾压境。红色警报之下，路上行人骤然减少，浓雾中宛若魑魅魍魉，恐怖而压抑。老顾带着黑色的防霾口罩在清华园中穿行，只有一双眼睛暴露在污浊的空气之中，即便如此，依然被刺激得热泪纵流。清华荷塘，烟尘笼罩，湖面冰封，残荷败柳，满目萧瑟。当年宿舍九号楼，刚被拆除，残垣断壁，遍地狼藉。故地重游，山河破碎，物逝人非，无从追忆。想当年，和同学讨论萨特的“他人就是地狱”，现如今，人类的贪婪已将家园变成了地狱，荒谬可怖，万劫不复。长夜漫漫，辗转难眠，不禁悲从中来。

图2. Richard Hamilton在清华讲解Ricci Flow.

入夜，北风渐紧，待到旭日东升，已是烟消云散，万里碧空如洗，心中阴霾也随之一扫而空。迎着朝阳前往丘成桐数学科学中心去听 Richard Hamilton 讲解他发明的 Ricci 流理论。哈密尔顿年届古稀，依然充满活力，双眸精光四射。他本来在康奈尔大学任教，在加拿大和美国交界区域有几大湖区，湖上的水汽为美国东部提供了降水。康奈尔大学终年笼罩在云雾之中，难得见到烈日当空。所以哈密尔顿立下规矩，如果天气晴朗，就停止讲课。他又宽慰大家道：加州五十年代空气污染非常严重，一度令人窒息。几十年后，经过长期治理，目前空气质量逐渐恢复正常。这次，哈密尔顿讲解李-丘不等式（Lee-Yau inequality）及其在Ricci流理论中的应用。哈密尔顿回忆道：当年丘先生让他研读李-丘不等式的论文，他开始很难领会其中的关键，因为那篇论文是用标准的哈佛风格写就，那就是把一切写得尽量复杂。后来，他逐渐领悟到李-丘不等式的精髓，并在Ricci流理论上起到了至关重要的作用。

两日后，雾霾卷土重来，变本加厉。在剧烈的咳嗽中哈密尔顿进一步讲解了Perelman的熵能量。哈密尔顿说他刚看到Perelman定义的熵能量时，他的**反应是这项工作要么是愚蠢透顶，要么是精彩绝伦。*终被证实是后者，特别是其中主要的项在孤立子解中恒为零，这对Ricci流*为重要。作为Ricci流的***，哈密尔顿的讲解深入浅出，透彻深刻，饱含深情。北京的天气这几日时而雾霾袭城，愁云惨淡，时而晴空万里，阳光灿烂，直令人悲喜交加，情难自已。

图3. 丘成桐先生，陈东升，孔东梅夫妇在东润丘成桐科学奖颁奖仪式上。

老顾有幸加入了东润丘成桐科学奖的评委行列。丘成桐先生和陈东升，孔东梅夫妇设立的东润丘成桐科学奖模仿美国Intel科学奖，目的在于发掘有才华的年轻人，鼓励学生热爱数学，投身数学。往年的优胜者大多进入了美国常青藤系列的名校。 今年，来自世界各地的几百支队伍参加了比赛。经过层层选拔，*终数十支队伍进入了决赛。这些高中生在老师的指导下，选择了艰深的数学课题，经过刻苦努力地钻研，取得了丰硕的成果。看到如此年轻的才俊们用流利的英语侃侃而谈，随手挥洒出黎曼zeta函数的展开，高斯-博内定理的几何内涵，老顾无比感慨，深感中华大地，英才辈出。参赛选手中，许多人来自大城市，受过良好的培训，所用数学工具现代而先进；也有很多选手来自二三线城市，缺乏培训，所用数学工具低等而粗陋，但是其数学发现具有令人意想不到的惊喜。相比于精心雕琢，匠气十足的早熟作品，评委们更青睐于具有原始**性的论文。在当夜的答谢晚宴上，陈东升，孔东梅夫妇再度致辞，表达对中国数学事业的鼎力支持。伉丽情笃，一往情深，两人跌宕起伏的爱情故事，早已传遍大江南北。

周期矩阵

在前面的章节，我们已经讨论了低亏格曲面的共形不变量和它们基于全纯微分的构造方法。在这里，我们讨论高亏格曲面的情形。

图4. 亏格为二的曲面，及其上的一族标准同伦群基底。

如图4所示，假设是一拓扑曲面，带有标准同伦群基底

我们在曲面上配备不同的黎曼度量，然后判断何时存在同伦于恒同映射的保角变换,

这等价于求度量曲面的Teichmuller共形等价的不变量。

图5. 亏格为一的曲面的共形不变量。

我们回忆一下亏格为一的曲面，如图5所示，曲面的同伦群为

保角变换将的万有覆盖空间映到复平面之上。这个保角变换的导数是曲面上的一个全纯微分形式， 满足条件。每个基本域成为一个平行四边形，底边长为1，侧边的复数表示为

这里就是亏格为一的曲面的共形不变量。

图6. 亏格为二的封闭曲面上全纯一次微分群的基底。

我们来考察亏格为个的曲面，如图6所示，曲面全纯1-形式群的基底为

满足如下条件

我们定义从曲面万有覆盖空间到维复空间的全纯映射，

由此，我们定义映射的周期矩阵为

两张度量曲面Teichmuller共形等价，当且仅当它们具有相同的周期矩阵。

黎曼参模问题

1857年，黎曼提出了**的Riemann参模问题，那就是亏格g的黎曼面，其模空间可以由3g-3个复数进行描述。这个问题的微分几何提法如下。假设给定两张亏格为g的带度量曲面，如果它们之间存在一个保角微分同胚，则它们彼此共形等价。所有的共形等价类构成的空间被称为模空间，

黎曼猜测模空间的维数为复3g-3。

虽然已经过了150多年，人类迄今为止依然没有完全理解模空间的结构。这个问题一个巨大突破发生在1940年代，由台希米勒（Teichmuller）完成。Teichmuller在1939年开始创立Tiechmuller理论。很可惜的是，Teichmuller狂热地崇拜纳粹主义，于1943年死于战场，时年30岁。但是，他的思想过于超前，在他死后几十年后，人们才逐渐理解并接受了他的想法。虽然，数学家们并不赞同他的政治理念，但在数学史上，依然给了他崇高的地位。

Teichmuller考虑的是模空间的万用复迭空间 - Teichmuller空间，其关系可以表述成

模空间等于Teichmuller空间关于曲面映射类群的商空间。**我们用Poincare-Koebe单值化定理来考察Teichmuller空间（模空间）的维数。显然，所有亏格为零的度量曲面都可以保角地映射到单位球面上，所以所有的零亏格度量曲面都共形等价，换言之零亏格曲面的Teichmuller空间只有一个点，维数为零。

图7. 曲面单值化定理。

对于亏格为一的环面而言，它共形等价于一个平环，

有两个自由度，所以亏格为一的环面的Teichmuller空间是二维的。

对于高亏格的曲面，它共形等价于一个带有双曲度量的曲面,

这里是曲面的Fuchs群。Fuchs群和曲面的万有复迭空间的甲板映射群同构，并且是双曲空间等距变换群的子群，

每个生成元都是莫比乌斯变换，需要3个参数来确定，同时关系式给出了3个限制，

同时对于任意一个莫比乌斯变换

给出了同样的Fuchs群的等价表示。因此，曲面的Teichmuller空间为复3g-3维。

图8. 曲面的裤子分解。

有另外一种更为直观的方法证实黎曼模参数猜测-裤子分解。我们在曲面上找到3g-3条简单闭曲线，将曲面分割为2g-2条“裤子“。我们设曲面的度量为双曲度量，3g-3条分割线为测地线。所谓”裤子“就是亏格为0的曲面带有三条边界。图9显示了一条双曲裤子，三条边界皆为测地线。连接两条边界的*短线必然为测地线。沿着三条*短线将曲面切开，我们得到两个全等的双曲六边形，每个内角都为直角，每条边都为测地线。如果两条双曲裤子，对应的边界长度相同，则他们必然等距。所以如果3g-3条切割线的长度相同，则所有对应的裤子都等距。

图9. 双曲裤子的共形模是边界测地线长度。

但是，两条裤子沿着公共边界测地线粘和的时候，其中的一条裤子可以相对于另外一条裤子转动。所以我们需要每条割线的长度，和这条割线两侧裤子粘和时的相对转角来描述整个双曲曲面，共需6g-6个实数参数。

图10. 计算相对转角的方法。

图10给出了一种计算转角的方法。双曲曲面被分解为三种基本构建单元，每个单元的边界为测地线， 如图所示的所有同伦类中的测地线都被计算出来。从这些测地线的长度，我们可以推演出转角。由此，曲面的Teichmuller空间为6g-6实数维。

总结

至此，我们已经介绍了紧度量曲面共形不变量的理论。在绝大多数情形，这些共形模的计算都是依赖于全纯微分形式和曲面单值化定理。在过去的十数年间，我们团队经过不懈的努力发展了完整的计算共形模的算法，从而使抽象的理论变成实在的算法。我们会在后继章节中介绍算法细节和具体的现实应用。