再谈2018年高考全国理科I卷（第20题）概率压轴题--错还是没错？

1、都是伯努利惹的祸。

*近有人针对2018年高考全国理科I卷第20题再次发表言论，声称这道题是统计题不是概率题，而且无论是题目还是国家解答都不存在错不错的问题。既然这不是官方*后的“判决”，我就不妨再多说几句。作为对基础教育起着指挥棒作用的高考，命题是一件很严肃的事情，来不得半点的含糊其辞。

我对这道题是概率题还是统计题的问题没有兴趣争论，自从伯努利同志用统计定义概率后，概率与统计就一直纠缠不休，甚至弄出了一地鸡毛。你说掷骰子是统计问题，我说掷骰子是概率问题，谁对谁错？正如你说勾股定理是几何，我说勾股定理是代数，到底谁说的正确？去翻翻历史，看看费马大定理说的是什么事，就知道我说勾股定理属于代数问题有没有错了。而且教材中不乏类似的题，这些题在概率章节还是统计章节，大家翻一翻教材便知。无论是必修3还是选修2-3中，相关内容都放在概率部分，难不成课程标准制定者与教材编写者都搞错了？这个问题可就严重了。我感兴趣的问题是：2018年高考全国理科I卷第20题到底有没有错？

2、再论2018年高考全国理科I卷第20题

为了方便讨论，我把这道题再次抄录一遍：

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立。

(1) 记20件产品中恰有两件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的*大值点p0.

(2) 现对一箱产品检验了20件，结果恰有两件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值。已知每件产品的检验费为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

**需要澄清一个事实，这道题明确指出是对一箱200件产品中的20件作检验，根据检验结果决定是否对这箱产品中余下的产品作检验，这里所指产品显然是这箱产品，而不是所谓的大批量产品。也就是说，样本总量为200，而不是那篇帖子里说的大批量，看看题目的第二问就一目了然了。

对这道题的理解有两个关键点：1、这道题的表述有没有错？2、这道题的解答有没有错？关于**个问题请看这句表述：“设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立。”我不知道统计学家是不是习惯于这种表述，至少我认识的统计专家与概率专家似乎都不是这么表述的，因为，作为已经生产出来的成品，合格与否是确定的，随机性不是针对某件产品是否合格而设的，而是指抽到哪件产品是随机的。题目的表述到底有没有问题，相信读者自有判断。

*关键的一点是第二个问题：解答到底对不对？标准解答将此题当成伯努利实验来做是否合理？这就要从两个方面来分析了：（1）中学阶段的统计中有没有介绍当样本总量很大时，少量抽样可以近似看成伯努利实验？（2）200件产品相对于20件产品的抽检算不算样本总量很大？换句话说，多大的样本总量相对于抽检的数量称得上大样本总量？

从实验的性质看，无放回式检验属于超几何分布，有放回式检验属于二项分布，概念的界定非常清楚，与这是统计还是概率问题无关。只有当样本总量很大，而检验的样品相对于总量很少时，可以将无放回式检验近似当成有放回式检验。某版中学教材选修2-3中的概率章节2.4二项分布中有一道练习题：

批量较大的一批产品中有30%的一级品，进行重复抽样检验，共取五个样品，求：

（1） 取出的5个样品中恰有2个一级品的概率；

（2） 取出的5个样品中至少有2个一级品的概率。

这道题的题干表述非常清楚，指的是这批产品中的一级品率而不是“每件产品为一级品的概率”，其次，提干中讲的是“批量较大”的一批产品，没有涉及具体的产品总量，因为大批量产品的抽检与总体的关系可以忽略。大学概率统计教材中也有类似的表述：“一批数量很大的产品”，这类问题可以近似当成二项式分布。

再回头看考题的表述：“先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。”考题的第二问说“(2) 现对一箱产品检验了20件，结果恰有两件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值。已知每件产品的检验费为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？”

这两段话表述得很明白，先从这箱产品中抽取20件作检验，再决定是否对这箱余下的产品作检验，换言之，样本总量是200。那么相对于抽检20件产品来说，200件的样本总量算不算大批？有没有一个界定的标准？教材中有没有交代过？这就要看我们要求的精度是多少了。超几何分布与二项分布的一个典型差别是：超几何分布通常需要知道样本的总量，而二项分布则不需要。所以一般情况下，如果命题的考点是二项分布，提干中通常只是说大批量产品，而不会给出具体的产品数量，一旦给出了产品的数量，就必然涉及用什么方法以及精度问题。在这类问题中，如果样本总量很大，可以用二项分布近似替代超几何分布，但并不表示这就是二项分布。尤其是当给出了样本总量，而且样本总量相对抽检的数量并不算庞大时，该用超几何分布还是二项分布是一件不言自明的事，与这道题属于统计还是数学有什么关系？