高分子统计物理漫谈

*近，理论物理学家 Peter van Nieuwenhuizen, Sergio Ferrara 和 Daniel Freedman 因为在超引力理论方面的工作而获得2019年基础物理学特别突破奖。

超引力理论的提出要追溯到1973年由 Julius Wess 和 Bruno Zumino 为了改进标准模型而提出的一个绝妙想法：超对称（Supersymmetry）。标准模型里包含两种类型的粒子：构成物质的费米子（Fermion）和传递相互作用的玻色子（Boson）,两者满足不同的自旋统计性质。简单地说，费米子具有半整数自旋，满足反对易（anti-commuting）量子统计；玻色子具有整数自旋，满足对易（commuting）量子统计。超对称是一种新的对称，在超对称转动操作下，费米子和玻色子可以互相转化，因此二者是对称的，每一个粒子具有一个比自己的质量更大的超对称伙伴。在超对称场论中，玻色子和费米子分别由玻色场和费米场描写，两者分别具有对易与反对易性。为了描述反对易性，需要引入反对易数，满足Grassmann代数。

如标准模型，超对称的想法在提出之时，并未包含引力。1975年，文章开头的三位获奖人将超对称的想法应用于引力的研究，将描述引力的广义相对论与超对称的想法结合起来，提出了广义相对论的超对称版本：超引力。在超引力理论中，时空获得了一种费米性，时空的动力学描述需要引入反对易代数，原先传递引力相互作用的玻色子引力子（graviton）获得了一个费米子超对称伙伴引力微子（gravitino).

一个好的想法总会在物理中有众多的用武之地。超对称的想法在统计物理的问题中也有许多的应用。通过在统计玻色场论模型中，引入满足Grassmann代数的费米场，写出一个超对称的场论模型，可以解决许多原本在玻色场论框架下很难处理的问题。

例如，在高分子理论物理中。以前的文章中，我们已经从一种方法论述了一个高分子单链统计问题，即自回避行走（Self-Avoiding Walk），可以在玻色场论的框架下写成一个n-矢量玻色场朗道-金兹堡-威尔逊标准场论（Landau-Ginzburg-Wilson Hamiltonian）的 n=0 *限。为什么要取 n=0 *限呢？原因是将该玻色场论的格林函数微扰展开时，费曼图里包含很多非物理（不对应自回避行走）的圈图（Loops）,这些圈图的贡献是比例于n的，因此，采取n=0,可以将所有非物理的图形去除。

然而，将原先为自然数的n解析延拓到实数，可能仍会有一些数学上的问题。在研究中，人们发现，通过引入满足Grassmann代数的反对易费米场，构造一个高分子链的超对称场论模型，则可以不必取 n=0 *限，这是因为，费米场展开的费曼图正好可以将原来玻色场展开的非物理图抵消掉。

我们将会陆续对这一个方向做一些介绍。在附文里，我们则**给出高分子链超对称场论的形式。

附文：Supersymmetric Field Theory of Polymer_Bing Miao@UCAS.pdf