空和无的物理学——以光子气体的化学势为例

缘起：*近化学势数次进入视线

之一，百检网名博肖重发兄答应接受“2015年全国热统年会”邀请，将莅临会议并做大会报告“浅谈化学势”。

之二，里昂高师董玮教授是湖南大学校友，是湖南大学物理学科**位博士的导师(我是国内合作导师)。他将来会议做邀请报告，“Chemical Potential:First-principle calculation, Scaled particle theory, etc.”

之三，American Journal of Physics 2015第4期，专门有文章讨论光子气体的粒子数涨落，这个问题化学势密切相关。该文章浓缩成为一句话就是：如果一个量(例如说光子气体的化学势)为零，那么这个量的倒数不能认为是无限大，而可能是根本就不存在。

顺便一说，“2015年全国热统年会”报名在6月1日截止，以后的报名者只能安排学校附近宾馆。

一，空和无的定义，光子气体粒子数涨落问题

空：“本来无一物，何处惹尘埃”；无：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”。

空是没有定义，而无是某个有定义的量数值上为零。

空是不存在，而无是有的*限。

空是质的飞跃，而无是量的可以忽略。

那么，平衡热辐射场(或者说平衡态的光子气体)的化学势是零呢还是不能定义呢? 如果定义了化学势，由于数值上趋于零，会导致荒谬的结果。而这个荒谬的结果就出现在名著：Pathria《StatisticalMechanics》(2nded. p.101, p.172)中，

这段话说，由于这一公式，光子气体中粒子数的涨落是无限大。可是，仔细计算这一涨落值(参见第二部分：统计力学中的一个普遍关系：自由能凸性公式)，会发现这个值其实有限！

这是一个好题材，买点私货是必须的。--------私货之一：什么是情感上的空?--------

陈词滥调的故事有时也有很强的生命力。看过一遍，没齿不忘。

说一位年青的战士战死疆场，他的恋人坚持将尸体运回家乡安葬。然后在墓碑上刻上如下一行字：

(翻译：对这个世界来说，你不过是一员。但是对我来说，你就是整个世界。)

对这位恋人来说，在这个人之外，世界没有定义。

在一个没有定义的世界中，如何定义自我?

自我已经死去! 哀痛得不能苟活。

在香港九龙城南边，有一座小山。很大的基督教墓地，门口有两条壮硕的黑狗。

而如果想听听死亡的声音，想体会一下空的境界。墓地无疑是*好的地方。

15年前。阳光惨淡，树高叶密。清风时有时无，在墓碑间，在脚边。偶尔，疾风会突然升腾，窜进山边的树叶中。

被风鼓着，随机游走！直到看见一个小小的墓，里面埋葬着一个幼儿。墓碑上一行简陋的字：

“爱儿以诺之墓”

顿时眩晕，…。

想到人世间*美好的夫妻关系，无非神仙眷属，也就是一个封闭的世界。这个世界之外，没有定义，也就是空。

看见市井之间的夫妻，很多话题涉及隔别老王(的老婆)如何今天股市风光几何，反衬家庭中的对方一无是处。这就不仅仅定义了一个外面的世界，而是还想努力地把对方推到这个世界中。

人世间多少烦扰，全在参不透空空如也。

--------私货之一完--------

二，统计力学中的一个普遍关系：自由能凸性公式

把热力学基本方程dU=TdS-pdV的形式变一变，写成如下无量纲的形式：

$\frac{1}{k}dS=\beta dU+\xi dX$

如果 $X=N$ ，那么 $\xi=-\beta \mu$ ；如果 $X=V$ ，那么 $\xi=\beta p$ 。统计力学中有一个普遍关系称之为自由能凸性公式，表达式如下：

$-\frac{\partial \left \langle X \right \rangle}{\partial \xi }=\left \langle \left (\Delta X \right )^2 \right \rangle$

文章开头的那个公式，不过是自由能凸性在 $X=N$ ， $\xi=-\beta \mu$ ；时的体现，当然需要一点推导。这个推导参见任何一本教科书。

如果光子气体可以定义化学势的话，那么必然有这个公式。而如果化学势趋于零的话，又必然导致Pathria的那个荒谬的结论。荒谬? 是的！请看习题。

光子气体的粒子数的涨落是一个非常明确的、漂亮的结果。

如果光子气体可以定义化学势的话，自由能凸性公式给出的结果是，光子气体粒子数的相对涨落为无穷! 统计物理学中，光子气体的压强仅仅是温度的函数，和体积无关。所以，

$\kappa_T=-\frac{1}{v} \frac{\partial v}{\partial p})_T\rightarrow \infty$

自由能凸性公式的左边不等于右边。

如果根本就不定义化学势，也就不能利用自由能凸性公式，也就不存在这个等温压缩系数了。

三，空和无：实际和理论上的差别

实际上，光子气体的化学势时可以定义的，但是数值小得完全可以忽略不计。注意，非平衡光子气体的化学势非零。

理论上，如果对光子气体定义了化学势，不如根本就不引进这个概念好。

一个安全的处理方案是，一切涉及空和无的时候，不要放到原来的理论框架中处理，而要单独研究。

--------私货之二：海边的维纳斯--------

初春的时候，在西欧的一个海边住了20天。不期而遇的不仅仅有日食，还有海边的维纳斯。

在海边，看见过太多的赤裸少女。但是，那都是在夏秋季节。而这一次，海边还在飘雪！无论男女，身材都棒*了。看见维纳斯了吗? 这张照片的角度*好！一些角度不好的照片就只能自己欣赏了。

看见过很多次未婚的男女赤裸游戏的场面。觉得他们相互欣赏酮体，应该和看见大卫或者维纳斯那样。没有东方人那样立即出现血脉喷张的感觉。也见过他们开放起来的样子，程度就不是东方人可以理解的了！

--------私货之二完--------