狄拉克δ函数的数学迷思

早期的科学家既是物理学家，也是数学家，还是哲学家。由哲学启迪认知，以直观指引逻辑，理论概括实践验证，用数学量化计算。那时的科学家，宇宙在乎手，万化生乎身，为智者，为大师，为哲人。

自从牛顿用微积分将大家带入无穷的世界后，凭借逻辑冥想的大步跨越，让物理的直观和数学的严谨拉开了距离。经二三百年的混乱和各自发展的累积，已难有跨足两边的大师了。物理学者研究真实的世界，视数学为工具，不敷使用时，便凭直观想象，强用公式硬推，大胆用到原来不允许或没定义的场合，有时精彩无比，有些荒谬离奇。数学家则跟随修正补遗，获取灵感。近百年前，狄拉克继毕达哥斯派的古风，以形式的美，扩展了许多直观想象的应用。牛顿以来用微积分将世界看成连续不可分的时空和场，狄拉克改造了分析工具，在连续的景象里凸现出分立的个体。他大约是给数学带来*多创意的近代物理学者。狄拉克的δ函数，便是一个典型。

*为简单直观的δ函数，表述为零点为无穷大，其他都是零的实数变量函数，它在实数轴上积分为1。

$\delta(t) = \right\displaystyle \left\{\begin{matrix} + \infty &\mbox{if}\;\; t=0 \\ 0& \mbox{otherwise}\end{matrix}\right$ 和 $\hspace{2cm}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

这个定义在数学上有着明显的缺陷。一般来说，函数的值不能是无穷大。定义者辩称，这是广义上的函数，把值域扩充到包含有无穷大的情况。这样说的函数可以接受，但这个在0点是无穷大，其它处处为0的函数，对黎曼积分没定义，勒贝格的积分是0，才是问题所在。麻烦还不仅于此。在数学上，函数是从定义域到值域的一个映射，以此确定了函数的所有性质。上述的定义并非如此，定义的前半部分建立了自变量与函数值的对应关系，已经完全确定了函数。这函数乘上常数c，仍然保持相同的映射，即保持这函数不变，它的积分也应该保持不变；在而后半部分，这函数乘上一个常数c，从积分的线性关系，积分值将变成c。应用定义的不同部分，推导出不同的结果，说明定义中有矛盾，这在数学上是不允许的。

于是大家便改成逼近的方式来定义，例如用一个积分值为1矩形脉冲函数序列$H_n(t)$，把它看成其宽度趋向0时的*限函数，或者看成是均方差趋于0的正态分布序列的*限。这样行不？

$H_n(t) = \right\displaystyle \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{if} \;\; t\le -1/2n \mbox\;\;{or}\;\; t \ge 1/2n\\ n & \mbox{otherwise} \end{matrix}\right$

$\delta(t)=\lim_{n\rightarrow \infty}H_n(t)) \;\;\;$

$\delta(t)=\lim_{a \rightarrow 0+} \frac{1}{a \sqrt{\pi}}e^{-t^2/a^2}$

从函数序列来看，在定义域除了0点外都是收敛的，但在0点不收敛，也就是说在逐点的意义上，这两个函数序列都不收敛。即使把函数定义扩展到包括无穷大的值域，认为它可以作为函数序列的*限，也没有微积分的定理能让这一个无界函数的积分等于序列函数积分的*限。实际上，这*限函数的勒贝格积分是0，不是所希望的为1的数值。企图把δ函数定义为单位阶跃函数的导函数，或者用光滑函数序列导函数逼近阶跃函数的导函数，也将是如此，无论对黎曼积分还是勒贝格积分，它都不满足那个联系着不定积分和定积分的牛顿-莱布尼茨公式的条件。

此路不通！因为δ函数根本不是个函数，即使允许定义那样的映射，也无法合理定义出积分为1的性质。那么狄拉克是怎么想的？这δ函数如何能用在物理，统计和工程上？

狄拉克有着*好的物理直观和形式推理的训练，他的美感蕴含着自然和谐的内涵，来支持他做法内在的合理性。这要从他面对的挑战谈起。

在向量空间，人们经常用线性算子对空间进行分解，将空间中的向量表示成特征向量的线性组合。特别是规范地表达成特征向量正交归一化的基ei，在数学计算上和物理直观上都有着重大的意义。这在空间能够分解成有限的或可数无穷的基时都不难做到。

对正交归一化的基向量有 $\left \langle e_i,e_j \right \rangle = \delta_{ij} $ ，空间中的向量x表现成它们的线性组合时，$x = \sum _{k}a_k e_k$，由 $\langle x, e_n \rangle = \langle (\sum _{k}a_k e_k ), e_n \rangle= \sum _{k}a_k \langle e_k, e_n\rangle = \sum _{k}a_k \delta_{kn} = a_n$，得到向量在基向量上分解的系数就是对它的投影 $a_n = \langle x, e_n \rangle$，这是大家熟知的线性代数上数学形式推理和几何直观。例如分立频谱时傅立叶级数分解，即是这里基为可数的形式。

将这个几何直观推广到基向量是不可数的情况，例如量子力学中算符的连续谱本征波函数es，归一化就处在遵从数学严格定义与应用上两难的局面。这时狄拉克引入δ函数来取代δij函数，把内积和线性组合的叠加表现成积分的形式，建立起在分立和连续不同情况下类比的解读，以保持几何直观和数学推导形式的一致。

定义δ函数具有这样的性质：$\int_{-\infty}^\infty f(r)\delta(r-s)dr = f(s) \;\;\;\forall f\in L^1(R)$，规范化连续谱的基向量满足 $\left \langle e_r e_s \right\rangle = \int_{-\infty} ^\infty e_r(t)\overline{e_s(t)}dt =\delta(r-s)$ ，则空间中的向量x对这组基的分解$ x = \int _{-\infty}^\infty a(s)e_s ds $，在几何投影直观上直接可以得出其中$a(s)=\langle x, e_s \rangle $.

在数学的形式推导上不难验证，$\langle x, e_s \rangle = \langle \int _{-\infty} ^\infty a(r)e_rdr, e_s \rangle = \int _{-\infty}^\infty a(r)\langle e_r, e_s\rangle dr = \int_{-\infty}^\infty a(r) \delta(r-s)dr = a(s) $，这就保持了逻辑和直观统一的形式美。

狄拉克函数的动机是类比于δij函数，并不是将实数对应到0和无穷大的映射，只是如果把它当作函数来看时必须具有的性质，不是它的定义。其真正的要求，是在积分里，将空间里的函数a(.)对应到s点的函数值a(s)的功能，从而得到状态x对（本征值s的）连续谱本征波函数e_s分解的系数a(s)。数学上，将函数看成变量，对应到数域上的一个数值，称之为泛函。不难看到δ函数是个泛函，它确定的映射是线性的，而且是连续的，所以它是一个连续线性泛函。

另一方面，如果用函数 g 作为积分 $\int_\Omega f \overline{g}$ 中的一个因子，也将可积函数 f 对应到数域上的一个数值，所以也可以把 g 在这个积分下的作用看成是一个连续线性泛函。在积分作用下，泛函包括传统的函数以及不能表示为传统函数的部分。连续线性泛函L对线性赋范空间 F 中函数f的作用，通常可以写成内积的形式 $L(f) = \langle f, L\rangle$. F 空间上全部连续线性泛函构成了它的对偶空间，记为 F*。

狄拉克δ函数是广义函数，这广义不是指它的值域包含了无穷大和已确定的积分值，而是本质上它是函数空间到函数空间上的映射，当固定参数s或缺省为0时，δs 是函数空间到数域上的映射，这不是传统函数定义为数域到数域的映射所能涵盖的。能够反映这个功能的定义应该是：

$\int_{-\infty}^\infty f(t)\delta(t-s)dt = f(s) \;\;\;\forall f\in C^0(R)$

篇首的那种简单直观的“定义”，是它在F*空间以参数为变量的范数值函数，以及对常数值1函数的泛函值，不足以确定广义函数。

广义函数是一类连续线性泛函。连续线性泛函在积分作用下可以包含传统的函数，功能如同概率统计中的分布函数，所以有时也类比地称之为分布函数。线性赋范空间F上的两个连续线性泛函，如果对F中所有函数的内积都是相等的，可以认为它们是等同的。

我们知道微分算子的特征向量集合$\{e_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikt} \; | \; k \in \mathbb{Z} \}$是L2[0,2π]空间上的一组正交归一基。这空间中的函数对这组基展开的是傅立叶级数。对于$L^2(-\infty, \infty)$空间，微分算子不可数的特征向量 $e_s(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ist},\;\;s\in \mathbb{R} $，依上面的对特征向量的分解系数和线性叠加的解读实现的是傅立叶变换和它的反演。这表示这组连续谱的基是规范的，验证这个泛函内积的表现则有：$\delta(r-s)=\langle e_r,e_s \rangle= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-irt}\overline{e^{-ist}} dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-i(r-s)t} dt $ 即狄拉克函数的另一性质：$ \delta(w) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-iwt} dt $.

线性赋范空间F上的泛函序列（Ln），$\lim_{n\rightarrow\infty} L_n = L_0$，说是弱*收敛于L0如果满足下面条件：

$\lim_{n\rightarrow\infty} \langle f, L_n\rangle = \langle f, L_0\rangle, \;\;\;\forall f\in F,L_0, L_n \in F^*$

所以对于广义函数，我们说 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\pi}\frac{\sin (nx)}{x} =\delta(x)$，实际上是指弱*收敛，

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{\sin (nx)}{x}dx = f(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx = \langle f, \delta\rangle, \;\;\;\forall f\in \mathbb{D}(\Omega)$，

上面常见的几个*限等式，也是在这个意义下的收敛等价关系。明白了这个意义，不难构造出无数种这样的*限等式。

$\Omega\subset \mathbb{R} $是个开区间，$\mathbb{D}(\Omega)$是定义在$\Omega$上无穷阶可微函数的空间，空间中的函数对应于非0函数值的点各是在一个有界闭区间里（为“紧支集”）。$\mathbb{D}(\Omega)’$表示对应的连续线性泛函空间，它的元素叫做$\Omega$上的广义函数。广义函数L可以用下面的公式定义它的任意阶导数DnL，

$ \langle f, D^n L\rangle = (-1)^n\langle D^n f, L\rangle , \;\;\; \forall f \in \mathbb{D}(\Omega)$

例如，把单位阶跃函数看成广义函数，我们有$H'(x) = \delta(x)$，这是因为

$\langle f, H'\rangle = - \int_{-\infty}^\infty f'(x)H(x)dx = - \int_0^\infty f'(x)dx =f(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)dx,\;\;\;\forall f\in \mathbb{D}(\mathbb{R})$，注意这里用了具有紧支集的函数在无穷处的函数值是0的性质。

完全类似地可以定义n维空间的广义函数和它的任意阶偏导数。Sobolev空间理论及广义函数，在现代偏微分方程中已是不可或缺的工具。狄拉克以非常简单直观的δ函数，给物理学者和工程师铸造了一把饱含数学能量的利器，也为数学家打开了一座富有宝藏的矿山。

到这里已经大致用广义函数的理论，给δ函数一个数学上严谨的解读。所谓的δ函数，不是个值域扩展到无穷大的传统函数，而是定义在函数空间上的泛函。通常介绍的*限或导数形式的等式，不能作为它的定义，只能看作在函数空间作用上的等价关系。

物理学者和工程师，经常凭证直观想象的类比，不严谨地套用公式，经常得到丰硕的成果，但有时也错得离谱。即便是历史上数学大师，如费尔马，欧拉等，以其丰富地类比想象，而硕果累累，但也有些不靠谱的错误论断。数学上严谨的证明，如同物理实验一样，在逻辑上验证一种类比猜想的正确性。只有过了这关才是可靠的。狄拉克的δ函数，作为数学实体的存在性，作为函数序列弱*收敛*限的泛函，以及各种初等计算的性质都得到了严格数学上的证明。有了这个数学加持为后盾，说明这一个直观类比是可行的，我们仍然可用那些通俗解读，作为数学模型的性质来想象它的应用，而不必涉及深入的数学理论。

能够通读到此，对δ函数的认知应是过了“看山不是山，看水不是水”的阶段；即使你不能全部消化上面的数学内容，只要你知道δ函数不是函数，而是连续线性泛函，常见的各种应用和初等性质，在数学上都有依据，这时虽然“看山仍然山，看水仍然水”，相信已不再是原来的那个境界了。