说课（13）（Lebesgue积分理论的深远影响）实变函数

这篇稍微扯得远一点，教师在课堂上未必需要扯这么多，可以视情形处理，但作为一门课程的主讲教师，对于相关的问题如果一知半解甚至一无所知，很难想象你能讲好这门课，因为你连这门课的来龙去脉都不清楚，除了照本宣科，你还能讲出什么花儿来？

我们都知道，当我们想了解一个人时，通常会了解三个方面的问题：1、他来自哪里？2、他是个什么样的人？3、他干了些什么事？例如当我们在剖析罪犯时一定会从他的出身、生活背景出发，分析他是怎么成长起来的，他是个什么样的人，包括日常的表现、品行、修养、性格、心理、为人等等，透过这些去分析他的犯罪动机，也会分析他的行为将会对社会、对他人造成什么样的影响。这类分析对于罪犯自身或许意义不是很大，法官会根据事实决定如何量刑，律师舌灿莲花的辩护或许对量刑的轻重产生一定影响，但不会很大。除非某些事实不清，按照无罪推定的原则，在律师的辩护下，也许会无罪释放。这类分析的*重要功能在于警示社会、教育世人，也就是它的教育功能。

对一个学科的了解也是这样，如果你仅仅知道了一门数学课程的概念、定理，甚至对其定理的证明都烂熟于心，但对于这门课程的前世今生以及它对于数学乃至自然科学、社会科学带来了什么影响所知不多，恐怕很难说你是个称职的教师。

按下Lebesgue积分理论的起源不表，这回说说他给数学带来了什么。

首当其冲的莫过于Fourier分析，列位在学习微积分时一定听说过Fourier（傅里叶）级数，知道周期函数只要可积，她就有一个Fourier级数展开，但这个函数与他的Fourier展式是不能轻易划等号的，只能用一个波浪线把它们连起来。换句话说，一个函数的Fourier级数可能并不收敛到这个函数，哪怕他是连续的。这曾经是一个很复杂、很困难的问题，**是大名鼎鼎的Banach与Steinhaus证明了连续函数的Fourier级数的发散点集是个稠密集。现代概率论的祖师爷，Kolmogorov构造了一个L1函数，也就是Lebesgue可积的函数，它的Fourier级数处处发散，可见问题之严重。如果一个函数的Fourier级数不收敛到该函数，展开它岂不是浪费时间？当然，后来人们证明了在L2空间中，结论总是对的。问题是，Stone-Weierstrass定理告诉我们：闭区间上的连续函数是可以用多项式逼近的，当然也可以用三角多项式逼近，甚至可以是一致逼近。这个逼近与Fourier级数的差别在哪里呢？可以说，Stone-Weierstrass定理一点都不实用，因为逼近一个函数的多项式或者三角多项式的系数是没法确定的，于是人们试图确定这个系数。

数学家们的确很了不起，他们发现，尽管一个函数的Fourier级数可能不收敛到这个函数，但只要退一步则海阔天空，这至关重要的一步很不简单，它开创了数学史上新的篇章，滋生了一门新的学科—调和分析。Fejer研究了Fourier级数部分和的算术平均（也就是所谓的Cesaro平均），发现这个算术平均的确是收敛到该函数的。方法并不复杂，由于函数的Fourier系数是该函数与三角函数乘积的积分（利用欧拉公式，也可以写成该函数与指数函数乘积的积分），通过这个积分，便将级数部分和的算术平均简化成了该函数与一个分式三角函数乘积的积分，这个分式三角函数称为Fejer核，这正是奇异积分算子的萌芽。如今带奇异核的积分算子是调和分析研究的主要方面。

受Lebesgue积分理论深刻影响的另一门数学是概率论。一个广为人知的事实是，概率论出身不好，曾经是个赌徒，以至于很长一段时期一直不能登堂入室成为数学大家庭的一员。可为什么它*终成了数学的重要分支并且在众多领域得到了应用？不得不归功于测度论。看官们要问了，测度论与Lebesgue积分有几毛钱关系？诸位是否还记得我曾经在介绍Lebesgue积分时提到过直线上一般集合的长度问题？那就是测度！不过那是一种特殊的测度，是长度概念的推广。在n维的欧氏空间中一样可以定义这种测度，我们把它称之为Lebesgue测度。Lebesgue测度是构造性的，如果抛开具体的构造不谈，而是将长度、面积、体积、测度内在的特征提炼出来，可以得到更一般的测度概念，这个内在的特征有三个：1、非负性，长度是不能为负的（当然，也可以去掉这个条件，换句话说，可以允许测度取负值）；2、单调性。如果一个集合包含在另一个集合中，则前者的测度不超过后者的测度；3、可加性。如果两个集合互不相交，则其并集的测度等于两个集合的测度之和。这些性质并不难理解，你只要类比一下线段的长度概念就明白其中的道理了。如果抽去Lebesgue测度具体的构造过程，改用上述几个特征来定义测度，就得到所谓的公理化测度论。这一推广不要紧，带来了概率论革命性的变化，你只要仔细品味一下概率，会发现随机事件的概率也具备这个特征。果不其然，伟大的Kolmogorov同志正是基于公理化测度论改写了概率论，这就是现代概率论。这个改变与传统的概率论有什么不同吗？当然不同，可谓天差地别。**，概率论不再是赌徒了，而是咸鱼翻身摇身一变成了一个满腹经纶的文人雅士。遗憾的是，我们的中学教材让概率论再次变成了赌徒！当我在中学听高中老师讲授概率论时，老师要学生列举一些随机现象，学生列举的不是抛硬币就是掷骰子，似乎再也举不出别的例子了，因为他们在读初中时课本上见过的随机事件仅止于此。其次，你过去了解的概率仅仅刻画了*少部分的随机事件，具体地说，除了所谓的古典型概率，*多就是有一个密度函数的概率分布，即所谓的连续性分布。须知自然界大多数随机事件的概率并非如此，你所了解的仅仅是一类特殊的分布函数，即离散或连续型分布。更复杂、更难处理的恰恰是非连续的分布，其中*困难的那部分称为奇异分布，这在后面介绍“有界变差函数”时将会介绍什么叫奇异分布。如果你不了解实变函数，不了解测度论，千万别说你懂概率！当你翻开现代概率论或高等统计时，会产生一种错觉，以为自己拿错了书，误把实变函数与测度论当成了概率统计。我要告诉你：“恭喜你，你拿对了，那正是现代概率统计。”

要说与Lebesgue积分理论关系*为亲密者当数泛函分析，很多教材将实变函数与泛函分析放在一起，上册实变函数，下册泛函分析，两者的关系由此可见一斑。如果用一句话来概括两者之间纠缠不清的关系，可以这样说：“实变函数是具体的泛函分析，泛函分析是抽象的函数论。”你若想弄清楚他们之间详细的关系，建议去读一读泛函分析的引言部分，这里就不赘述了。

如果将Lebesgue积分理论中的Lp空间理论与复解析函数结构相结合便产生了现代解析函数论“Hardy空间”、“Bergman空间”等理论，可别小瞧这种结合，说他救了濒临“灭亡”的复变函数一命也许不算夸张。你若是多少了解现代微分方程，自然清楚Sobolev空间是Fourier变换与Lp空间结合的产物。

总之，Lebesgue积分理论给分析学带来的影响是深远的。