重写熵之为熵之3之重点：德令哈、理想气体和她的熵

（1）

据说德令哈的夜空是如此迷人，以至于28年前，海子穿过德令哈的时候，写下了“姐姐，今夜我在德令哈，夜色笼罩。姐姐，我今夜只有戈壁，草原尽头我两手空空，悲痛时握不住一颗泪滴……”。

我也开始回忆28年前的那个夏夜，我在做什么。我终于回忆起来，那是我**次到达彩云南飞之处。在昆明火车站旁边的小巷子里，未来的岳母给我点了一个小锅米线，我在路边的小桌子上吃起来，而未来的领导则不断讲起了滇池电影院的豆花米线的好来。那一刻，也有着迷人的灿烂星空。

（2）

从昆明火车站往前，我就可以走到滇池电影院，在未来的岁月里，我会在那里吃上了豆花米线；再往前多走，我就可以走到正义路，那是祖父在1941年时，病中住过的地方，他从那里出发，踏上茫茫滇缅路途。而拐个弯，我就到达了毛纺厂，在26年前，我寄住在毛纺厂的宿舍里，在那里，我开始计算《概率和统计》上的习题，并学习大数定理。好吧，我终于知道，不管一个个体的分布是多么奇妙，当我们做为统计对象的时候，我们将不可避免地落入正态分布的圈套里去，包括我们的身高、体重、钱，当然也包括爱情。因此，正态分布就像德令哈一样迷人。所不同的，是海子在德令哈写给姐姐后，就要去卧轨，而我则老是惦记着吃，就如同我总是要谈论数学一样。当然，作为一个诗人，我很惭愧。但是，作为一个和物理擦点边的人，我要告诉曹则贤兄和邢老人家的是：如同一个干部要讲政治一样，一个物理学家一定要讲数学，否则就会too 痒 too simple，晒太阳时拿衣服。

（3）

因此，我从理想气体中分子的动量的分布出发，开始分析理想气体的熵。就如同每个诗人的德令哈都不同，我的熵，是从信息论的熵开始定义和讨论的。

我们先分析了分子动量的空间，这个分析不出奇。我先将分子平动的三维的动量，看作三个彼此独立的满足正态分布的随机变量，然后，依靠信息论的熵定义，我计算出了一个分子在温度T的情况下其动量的信息熵（当然，动量可以直接折算成能量）：

$H_{\nu}(\textbf{1})=- ln \frac{m^{3/2}\Delta\nu}{(2\pi kT)^{3/2}}+3/2$ （1）

然后，我认为每个分子的动量彼此间是统计独立的（统计独立是说，这两个分子处于某种状态的概率，是各自处于各自状态的概率的乘积），则N个分子的动量的信息熵就是各个分子动量信息熵的直接加和：

$H_{\nu}(\textbf{N})=- N ln \frac{m^{3/2}\Delta\nu}{(2\pi kT)^{3/2}}+3N/2$ （2）

而$\Delta \nu= \Delta \nu_{x}\Delta\nu_{y}\Delta\nu_{z}$,是三维速度空间之体积微元，之所以不写成微积分中常用的如$d\nu_{x}d\nu_{y}d\nu_{z}$这样的形式，是因为，信息熵的定义本质上是离散化的，也就是说我们是靠各离散状态的概率，而不是连续取值的随机变量的概率密度来计算信息熵的。因此，我这是为了表达离散化的过程。

我是单独来计算气体分子关于几何空间的信息熵的。这个计算的与往常统计物理的教科书的不同在于，我认为几何空间的一个位置微元$\Delta V$一旦被占据，别的分子就占据不了了。这一点，在统计物理教科书里是转身划过，而不讨论的，只是说，经典的理论由于粒子的可分辨性，所以记状态应该如何使用排列公式，而不再说实际上一个粒子处于a位置动量为$p_{a}$和另一个粒子处于b位置，动量为$p_{b}$和两个粒子位置和动量同时交换，实际上是一种状态，这跟可不可分辨性根本就没什么关系。实际上，这个概念，我认为应该是Boltzmann为了将体系状态数和熵联系起来，硬是在几何空间和动量空间按相同的方式记了状态数而造成的结果。我认为这不对。换言之，我们可以认为分子的动量间彼此统计独立，但是不能认为分子的几何空间占位彼此也独立。按照这个模型，我推算出，N个气体分子在空间V占位的信息熵为：

$H_{V}(\textbf{N})=(V/\Delta V)H_{V}(\textbf{Cell})\approx Nln \frac{V}{\Delta VN}+N$ （3）

当然，这个推导引用了一些约化条件，这些条件在分子数比较多，同时气体分子相对空间而言，比较稀薄，彼此不会紧挨着的情况下，总是成立的。

*后，我认为，空间部分的熵和动量部分的熵是彼此独立的，所以总熵为彼此直接叠加。

到了*后，我再加上符合量子力学习惯的普朗克常量的处理，并按照统计力学的一般处理方式，乘上了个Bolzmann常数，即：

$S=kH_{s}(\textbf{N,V})$

$=k(Nln(V/N)+\frac{3}{2}NlnT+\frac{3}{2}Nln\frac{2\pi km}{h^{2}}+\frac{5}{2}N)$ （4）

这样，我就完全用信息论的方法，没有使用Boltzmann的等概率假设，也不需要量子力学以及不可区分性，推出了理想气体分子的统计力学熵，这种推法，也不会有Gibbs佯谬。

（5）

而我的假设，只有气体分子的动量遵循正态分布，气体分子彼此占位不能重叠，而且也不应该有占位的顺序问题。这就是说，今夜，只有戈壁，草原尽头，我开始想念小锅米线，焖肉米线，豆花米线和德令哈。而我的青春和爱情，在小锅米线的热气里，袅袅起来，超越了邢老人家和曹老人家对数学的责难。

Δν