王元院士推荐：133位著名数学家的288篇心血之作丨普林斯顿数学指

罗素(BertrandRussell)在他所写的《数学原理》(ThePrincipleofMathematics)中给出了纯粹数学的以下定义：

纯粹数学就是所有形如“p蕴含q”的命题的集合,这里p和q是含有相同的一个或多个变项的命题,而且除逻辑常项以外不含其他常项.这些逻辑常项全都可以用下述概念来定义：蕴含、项对于类的“为其元素”的关系、使得的概念、关系的概念,以及上述形式命题的一般概念中可能包含的其他概念.除此以外,数学还使用一个概念,但它不是其所考虑的命题的成分,这就是真理的概念.

《普林斯顿数学指南》可以说是罗素的定义所没有包含的一切东西的全讲.

罗素的《数学原理》是1903年出版的,当时有许多数学家全神贯注地研究这门学科的逻辑基础.现在,一个多世纪已经过去了,如罗素所描述的那样,把数学看作一个形式系统,这一点现在也不再是一个新思想,而今天的数学家更关心的是别的事.特别是在有这么多数学结果问世的这样一个时代,每个人只可能懂得其中*小的一部分;只知道哪些符号排列构成语法上正确的数学命题已经不那么有用,更需要知道的是哪些命题才值得注意.

当然,不能希望对于哪些命题值得关注这个问题给出完全客观的回答,不同的数学家对于哪些东西才有意思会有不同意见也是合乎情理的.所以,这本书远不如罗素的书那么形式化,它的许多作者各有不同的观点.这样,本书并不试图对于“是什么使得一个数学命题有意思”给出准确的答案,而是只想向读者提供一些很大的具有代表性的例子,使他们知道数学家们在21世纪开始的时候为之拼搏的思想是什么,并且以尽可能吸引人及能够接受的方式来做这件事.

本书的中心点是现代纯粹数学,关于这个决定有几句话要说.“现代”一词如上面所说,只不过是说本书打算对于现在数学家们在做什么给出一个概念.举例来说,一个领域可能在20世纪中叶发展比较迅速,现在达到了一个比较固定的形式,那么人们对它的讨论比之对现在快速发展中的领域就会少一些.然而,数学是有历史的：要理解一点现代的数学,通常就需要知道许多早就发现了的观念和结果.此外,想要对于今天的数学有一个恰当的展望,知道一点它何以成了今天的情况就是很必要的了.所以在本书里讲了大量的历史,尽管把这些历史包括进来的主要原因是为了说明今天的数学.

“纯粹”一词就更麻烦一些.许多人曾经评论过,在纯粹与应用数学之间并没有清楚的分界线,而且正如对现代数学要有一个适当的理解,就需要一点其历史的知识一样.对纯粹数学要有一个适当的理解,就需要一点应用数学和理论物理的知识.说真的,这些领域曾经为纯粹数学提供了许多基本的观念,而由之产生了纯粹数学的许多*有趣、*重要、当前又*活跃的分支.本书对于这些其他分支对纯粹数学的影响肯定不能视而不见,也不能忽视纯粹数学的实际和心智的应用.然而,本书的范围比它应该的那样要更加狭窄一些.有一个阶段,打算为本书起一个比较准确的书名,叫做“普林斯顿纯粹数学指南”,不采用它的**原因是觉得现在的书名更好一些.

类似这本集中于纯粹数学这样一个决定后面还有一个想法,就是它会为以后再出一本“指南”——关于应用数学和理论物理的“指南”留下余地.在这样一本书尚未出现以前,RogerPenrose所写的《通向现实的道路》(TheRoadtoRe-ality)(NewYork:Knopf,2005)一书包含了数学物理学的很广泛的论题,而且是按照与本书很相近的水平写的,Elsevier*近也推出了五卷本的《数学物理学百科全书》(EncyclopediaofMathematicalPhysics)(Amsterdam:Elsevier,2006).

“指南”这个词很值得注意.虽然本书肯定是打算写成一本有用的参考书,您可不能对它期望过高.如果您想找出一个特定的数学概念,就不一定能在这里找得到,哪怕它是一个重要的概念,虽然说,如果它越重要,就越有可能被收入本书.在这一方面,这本书倒有点像是真有一个人对读者在作“指南”：这个人在知识上有漏洞,对于某些主题在看法上又不一定与众人相同.虽然声明了这一点,我们至少还是力求某种平衡：许多主题并未包括在书中,但是已经收入的范围还是很广泛的(比起您对真有其人作“指南”所能合理希望的要广泛得多).为了达到这种平衡,我们在某种程度上是以一些“客观的”指标为导引的,例如美国数学会的数学主题的分类,或者四年一届的国际数学家大会上对数学分类的方法.大的领域如数论、代数、分析、几何学、组合学、逻辑、概率论、理论计算机科学和数学物理,本书都是有的,但是它们的各个子分支就不一定都有了.关于选择哪一些主题收入本书,每一个主题要写多长,不可避免地并非某个编辑的规定所能决定的,而是取决于某些高度偶然的因素,例如谁愿意写,在同意写以后是谁实际交了稿,交来的稿子是否符合规定的字数等等.结果,有些领域反映得不如我们所希望的那么充分.终于到了这样一个关节点：印行一部不甚完备的书,比之为了达到**的平衡而再等上几年还要好些.我们希望有朝一日《普林斯顿数学指南》(以下简称《数学指南》)还会有新版,那时就可以弥补本版可能有的缺陷了.

另外一个方面,本书也不同于一部百科全书,即本书是按主题排列,而不是按字母顺序排列的.这样做的好处是,虽然各个条目可以分开来阅读,却也可以看作是一个和谐的整体的一部分.说真的,这本书的结构是这样的,如果从头到尾地读,虽然会花费太多时间,却也不是好笑的事情.

从一开始,《数学指南》这本书就计划要有大量的交叉引用(即在书内引用本书内另外地方).在这篇序里面就已经有了一两次交叉引用了,而这种情况我们用楷体来表示.例如引用辛流形[Ⅲ.88],就表示辛流形将在第Ⅲ部分的第88个条目里讨论,而引用理想类群[Ⅳ.1§7], 则把读者带到第Ⅳ部分的**个条目的§7(总之,交叉引用的数字**是一个罗马数字,表示哪一部分,紧接着的一个阿拉伯数字则表示哪一个条目,而文字就是这个条目的标题,或条目内的相关内容.每一条目分成若干节,引用时就需要标明节号,例如[Ⅳ.1§7]就表示进入这一条目后的第7节,节下面有小节(subsection)和小小节(subsubsection),这就用逗号表示.标题中的文字就是这一节或小节的标题或其中的内容.在正文中,条目的标题放在双线里面(中译本没有双线),而节与小节的标题则放在正文内节或小节的起始处,记号§则不再出现.在小小节以下有时还有“小小小节”(subsubsubsection),所以还会出现§3.1.2这样的记号).

我们尽了*大努力来编写一本读起来很愉快的书,而交叉引用的目的也是希望有助于使读者愉快.说来也怪,因为在读书时要中途打断,花上几秒钟去查阅书中其他地方,本来会使人感到麻烦.然而,我们也试图使得每一篇文章读起来可以不必查找他处.这样,如果您不想追随这种交叉引用,那么通常也可以不这么做.重要的例外在于对各位作者,曾经允许他们假设读者对于第Ⅰ部分里讨论的概念有一些知识.如果您全然没读过大学水平的数学课程,我们建议您全文读一下第Ⅰ部分,这会大为减少读以下的条目时再到他处搜寻的必要.

有时一个概念是在一个条目里介绍的,而又在同一条目里解释.在数学文章里这时通用的规约是在定义这个词时,用斜体来印这个词.我们也想遵从这个规约,但是在如本书条目这种非正式的文章里,要想说清楚何时算是在定义一个新的或不熟悉的名词,并不总是很清楚(再说,中译本里,楷体还有其他用处),所以本书采用了一个粗略的规定：凡是**次见到一个词,而且紧接着就对它进行解释,这时就用黑体排印这个词.对一些以后并未作解释的词,有时我们也使用了黑体*,表示为了懂得下面的条目,并不需要懂得这个词.在更*端的情况下,则使用双引号来代替黑体.

许多条目结尾处都有一个“进一步阅读的文献”的一节,它们其实是对于进一步阅读的建议,不要把它们看作是通常的综述文章后面所列的那种完整的参考文献.与此相关的还有以下的事实：《数学指南》主要关心的不在于对发现所讨论主题的数学家记述其功绩,也不在于引述这些发现出处的文章.对于这些原始根源有兴趣的读者,在建议进一步阅读的书或文章里面或在因特网上可以找到这些资料.

原来的计划是要求《数学指南》的全书对于任何具有良好的高中数学背景(包括微积分)的读者都是能接受的.然而,很快就变得很明显,这是一个不可能实现的目标：有一些数学分支,对于至少知道一点大学水平数学的人来说就非常容易,而企图向水平更低的人们来解释,就没有什么道理了.另一方面,这个学科也有一些部分,肯定能够对于没有这个额外经验的读者解释清楚.所以,我们*后放弃了这本书应该有一个统一的难度水平的想法.

然而,可接受性仍然是我们*优先的考虑.在全书里,我们都力求在实际上可以做到在*低水平上来讨论数学思想.特别是编者们用了很大的力气,避免任何自己不懂的材料进入本书,而这一点成了一个很严重的限制.有些读者会觉得一些条目太难,而另一些读者又会觉得另一些条目太容易,但是我们希望所有具有高中以上水平的读者都能享受本书的很实在的一大部分.

不同层次的读者都能够从《数学指南》中得到些什么?如果您已经着手在读一门大学数学课程,就会觉得这门课程给您提出了许多困难而又不熟悉的材料,而您对于它们何以重要,又引向何方,则不甚了然.这时,使用《数学指南》就可以为您提供关于这个主题的一些展望(举一个例子,知道什么是环的人的数目,比能够说明为什么要关注环的人的数目要多得多,本书的条目环,理想与模[Ⅲ.81]和代数数[Ⅳ.1]就会告诉您关注环的理由是什么).

如果您读完了大学数学课程,就可能会对做数学研究有了兴趣.研究工作究竟是怎么回事?大学本科课程,在典型情况下,*少能让您了解.那么,您怎么才能决定数学的哪一个领域在研究工作水平上确会使您有兴趣?这件事并不容易,但是您做的决定会产生*大区别：要么您会幡然醒悟不搞数学了,而博士学位也不要了,要么您会继续在数学里走向成功的生涯.这本书,特别是第Ⅳ部分,会告诉您,不同类型的在研究工作水平上的数学家想的是什么,从而可以帮助您在更加知情的基础上做出决定.

如果您已经是一个站住脚的数学家,这本书对于您的主要用处可能是：它将帮助您更好地理解您的同事们其实在做什么事情.绝大多数非数学家,当他们知道数学已经变得多么异乎寻常的专业化时,都会非常吃惊.近年来,一个很好的数学家可能对于另一位数学家的论文完全看不懂,哪怕二者的领域相当接近,这并不是很罕见的事,但这不是健康的状况.做任何一件改善数学家之间的交流的事情都是一个好主意.本书的编者们通过仔细阅读这些条目受益匪浅,我们希望许多其他人也能获得同样的机会.

《数学指南》的特性在某些方面类似于那些大型的数学网站,如维基百科的数学部分,还有EricWeinstein的“Mathworld”(http://mathworld.wolfram.com/).特别是交叉引用有一点超链接的味儿.那么,写这本书还有什么必要呢?

在目前,答案是还有必要.如果您曾经试过在因特网上查找一个数学概念,就会知道这是一件碰运气的事.有时候您会找到一个好的解释,给出您正在寻找的信息.但是,时常则并不如此.上面提到的那些网址肯定是有用的,对于本书没有涵盖的材料,我们也向您推荐在这些网址里去查找.但是这些网上的文章与我们这里的条目,写作的风格大不相同：网上的文章比较枯燥,更加注重以更简洁的方法来给出基本事实,而不是注重对这些事实的反思.在网上也找不到如本书第Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅶ和第Ⅷ部分里面的那些长文章.

有人觉得把大量材料集中成书本的形式是有好处的.但是,我们在上面已经提到了,本书并不是孤立的条目的简单汇集,而是仔细排列了次序,这样编纂出来的所有的书,都必定有线条形的构造,而这是网页所没有的.一本书的物理性质又使得翻阅一本书和在网上漫游是完全不同的体验：读过了一本书的目录,对于全书就能找到一点感觉;而对于一个大的网站,您只能对正在读的那一页有点感觉.并不是每个人都同意这一点,或者觉得这是书本形式的一个很值得注意的优点,但是许多人无疑会觉得如此,而本书就是为这些人编写的.所以在目前《普林斯顿数学指南》还没有网上的对手,本书不是想与现有的网站竞争,而是想作为一个补充.

本文由王芳摘编自T.Gowers主编、齐民友译《数学名著译丛：普林斯顿数学指南（第1卷）》 一书由T.Gowers所做的序，内容有删节。

ISBN 978-7-03-039321-0

《数学名著译丛：普林斯顿数学指南（第1卷）》是由Fields奖得主T.Gowers主编、133位**数学家共同参与撰写的大型文集，全书由288 篇长篇论文和短篇条目构成，目的是对20世纪*后一二十年纯粹数学的发展给出一个概览，以帮助青年数学家学习和研究其*活跃的部分，这些论文和条目都可以 独立阅读，原书有八个部分，除第1部分是一个简短的引论、第Ⅷ部分是全书的“终曲”以外，全书分为三大板块，核心是第Ⅳ部分“数学的各个分支”，共26篇 长文，介绍了20世纪*后一二十年纯粹数学研究中*重要的成果和*活跃的领域，第Ⅲ部分“数学概念”和第V部分“定理与问题”都是为它服务的短条目，第二个板块是数学的历史，由第Ⅱ部分“现代数学的起源”（共7篇长文）和第Ⅵ部分“数学家传记”（96位数学家的短篇传记）组成，第三个板块是数学的应用，即 第Ⅶ部分“数学的影响”（14篇长文章）。作为全书“终曲”的第Ⅷ部分“结束语：一些看法”则是对青年数学家的建议等7篇文章。

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