一点处的应力状态

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经常在研究生或者博士生面试的时候，老师会问“什么是一点处的应力状态？”如果去翻阅教材，一点处的应力状态一般都是一个章节，从内容上看，数学推导占了较大的篇幅，并没有对“一点处的应力状态”进行正面的解答。在面试环节要用简短的语言来回答这个问题，并不容易。上大学时，我的导师马宏伟教授在讲授《板壳力学》课程时对该问题的解读令我印象深刻，记忆犹新！

回答什么是“一点处的应力状态”，先要弄清楚“一点处应力状态”的研究背景是什么，为什么要研究“一点处应力状态”。以图1所示受拉方杆为例，求其上一点P点的应力，做法是过P点假想做一个截面，利用截面法求得该截面上P点处的应力（可分解为正应力和切应力），问题在于过一点可以做出无数多个截面，P点的应力也就存在无穷多种表示方法，如果用截面法穷举一点处应力状态就变成了不可能的任务。同时，一个疑问也会随之而来，过一点可以做无数多个面，那么对于确定的物体在确定的外载荷下，物体内一点处的应力状态是否是**确定的？

这样的问题**挑战性，不过已往的力学知识可以为我们提供一些求解思路。描述空间任意方向的一个矢量时，可以先求出其在x,y,z三个正交方向上的投影分量，并用投影分量来描述该矢量，如图2所示，其表达式如下：

一个自然的想法就是，任意截面如果也投影到三个坐标平面上，类似于空间矢量的描述方式，就可以用投影平面上的情况来描述任意截面上的情况。考虑到截面法求得的是截面上的平均应力，而一点处的真实应力通过*限来定义的：

研究一点处的应力时也应该在一点处取一个微面积，当面积趋近于0时才能得到真实应力。为此，我们**在P点建立图3所示直角坐标系（P点为坐标原点），

由于切应力互等定理，上述矩阵就变成对称矩阵，独立的应力分量只有6个。通过建立图3所示微元体的平衡方程，就可以写出应力张量与任意斜面上应力之间的关系，如下

可见，任意斜面上应力的描述方法，在思路上与描述空间任意方向的矢量是类似的，任意矢量通过它在三个坐标轴的投影来描述；而一点处任意方向的应力描述是先将斜面投影到坐标平面上，然后利用投影面上的9个应力分量来描述，因此一点处的应力状态就由包含9个应力分量的应力张量完全描述了出来。这样一来，由图1引出的描述一点处无数多种应力的不可能任务就变成了可能。

不过，由于微元体的方向依赖于坐标系的方向，当坐标系方向发生变化时，用于描述一点处应力状态的应力分量也会随之发生变化。为了便于观察，仅考虑一点处应力状态时，可取图4(a)所示的六面体单元（直角坐标系下）来表示，六面体单元和四面体单元描述应力是相同的，根据应力定义的公式3，应力和面积大小无关、也与形状无关，图4(a)微元体上的应力是四边形面积趋近于0时的结果，图3微元体是三角形面积趋近于0时的结果，它们的结果是相同的，也因此在柱坐标、球坐标系中可以画出不同的微元体描述一点处的应力状态。考虑图4(a)坐标系发生旋转后，微元体也随之旋转，如图4(b)所示，

既然微元体的取向会随坐标系的取向变化，用来描述一点处应力状态的应力张量也会有无数多种。依据公式(4)我们知道，我们可以求得任意方向斜面上的应力，假如斜面不变，坐标系变化也是相同的，并且从图4(a)到图4(b)所示的微元体上的应力分量也可以互相导出，在这个过程中，就相当于微元体可以任意旋转，并且每一个位置都可以对应一种状态。

我们不妨任选一种参考坐标系进行描述，其它坐标系下的应力描述均可由此导出。在这无穷多种描述中，有一些应力状态特别令人印象深刻，如主应力状态（微元体上只有正应力没有剪应力）和纯剪应力状态（微元体上只有剪应力没有正应力）。为了便于说明，我们选取图5所示平面状态作为示例，图中所示的主应力状态、纯剪切应力状态、一般状态，在本质上是同一种应力状态（它们之间可以由公式(4)相互导出），只是在不同的坐标系下，应力分量的取值不同。

这样就从主应力状态换算到了纯剪应力状态，只要知道坐标系旋转的角度，一般状态下的应力分量也可以**的确定出来。由于主应力状态和纯剪状态的特殊性，它们也成为判定不同应力状态描述是否表示相同本质应力状态的重要手段。尽管应力状态的描述依赖于坐标系，有点“横看成岭侧成峰、远近高低各不同”，但主应力状态、纯剪应力状态为我们提供了抛开表象看本质的途径与方法。

如果在面试环节不适合做过多的画图、数学推导的话，可以略去画图推导，简单的来讲，一点处的应力状态是指物体上一点处受力情况，但这个点与我们一般印象中的点有些区别，它是微元体（直角坐标系下为正六面体）体积趋近于0时表现出的点的性质，一点处的应力状态就利用微元面上的应力分量组成的应力张量来来描述的。不同坐标系下，应力分量描述会有不同但它们满足一定的变化规则。主应力状态和纯剪应力状态可以用来判断不同应力状态描述是否具有相同本质。

上课的时候，马老师看到学生对已往知识有迷惑的地方，就会停下所讲解的内容，利用3-5分钟的时间对所涉及的概念进行简洁的解释来消除学生的迷惑，马老师关注学生的迷惑并不仅局限于力学知识迷惑，还包括数学上的迷惑、工程应用上的迷惑，有时也会在3-5分钟的时间内通过力学史给出所学知识的历史背景，使学生对所学知识产生学习兴趣。这3-5分钟永远是我学习的目标！