跨尺度问题的处理方法

国庆中秋佳节快乐！

节前写过一篇，意犹未尽。再续：

前几天说到：多尺度问题研究常常采用特征尺度近似方法，对不同尺度范围内的问题分别处理；但是这种方法在处理跨尺度问题的时候就显得无能为力。

等离子体物理中的双流体模型算得上处理跨尺度问题的一个好办法。尽管是流体描述，但是同时包括了电子的时间快尺度（空间小尺度）和离子的时间慢尺度（空间大尺度）物理过程，而且可以涵盖带电粒子回旋半径尺度的*低阶近似（及回旋半径的平方项修正）。但是正因为同时有电子的快尺度和离子的慢尺度，所以在做数值模拟时会遇到所谓“刚性问题”——即往往电子的运动图像已经面目全非了，离子还慢吞吞地没有响应 —— 以致需要大量计算时间；而且在这个过程中，为了展示离子的响应，很可能电子运动已经积累的大量的计算误差；而采用更精确的算法可能更进一步耗费机时。

解决这一问题，人们在利用电子和离子的质量比这一小量（<10-3）作为参数展开，在这一质量比趋于零的近似下得到霍尔磁流体（Hall MHD）和电子磁流体（Electron MHD, or EMHD）两种近似模型。前者设离子质量有限、直接令电子质量趋于零，从而忽略了电子动力学；后者则假设电子质量有限，令离子质量趋于无穷大，集中研究电子动力学。更进一步的近似则是假设宏观尺度上没有电荷分离、电子和离子一起运动。这就是我们熟知的磁流体模型（Magnetohydrodynamics, or MHD）。人们一般认为这一模型完全是宏观、慢尺度的描述。但是值得指出的是：这一模型隐含了带电粒子回旋半径效应的“零阶量”——“抗磁漂移”效应。

当然，即使应用上述更加简化的模型，在处理具体问题的时候，仍然会遇到跨尺度问题：比如人们近几年特别关注的低模数的磁流体模数和高模数的等离子体湍流（比如磁流体（MHD）湍流、流体描述的离子温度梯度模（ITG）湍流等）之间的相互作用（尽管两者都可以用流体、甚至磁流体模型描述）。

解决上述问题，常用的方法之一就是“多尺度展开”。如果只考虑少数特征尺度（比如2-3个），而且这些尺度相差很大，容易区分，我们可以利用“渐进展开”（AsymptoticExpansion）方法，比如常用的“WKB近似”（即几何光学近似、或者量子力学中的名称：准经典近似）；或者“边界层”（Boundary Layer）展开方法（如果两种不同的尺度分别在不同的空间区域占主导地位）。但是如果模式很多，而且有一些模式的尺度相近，则需要进行更普遍意义上的“多模展开”（就是有人提到的所谓“多尺度叠加”），即同时考虑几个、几十个、甚至上百个跨越不同尺度的运动模式（Fourier分量），在特定的初始、边界条件下计算它们的时空演化。这种方法很直接，但这些模式的选择人为性比较强。虽然在选择时经过物理分析，但毕竟不是自洽的。对研究物理机制有重要的参考价值，但对解释具体的物理过程和实验现象就有些“力不从心”。进一步的作法是选择一种尺度的模式，而让其它尺度的模式自洽产生演化，再来看它们之间的多尺度相互作用过程。上周在华中科大和浙江大学分别召开的两个学术会议上，研究输运过程的工作大多是采取这种方法：以研究MHD为主的团队多在MHD code里加上几个有代表性的微观湍流模式，研究其与自洽演化的大尺度、低模数MHD模数（特别是各种撕裂模）之间的相互作用；而以微观湍流研究为主的团队则在微观粒子模拟code里选择性地加上一两个特定的大尺度MHD模式，研究它们之间的跨尺度相互作用。

*终的解决方案还是要在**性原理的水平上研究跨尺度的物理问题。以粒子模拟为主的GTC团队（前面提到的Science上的文章就是用GTC code做的）提出的目标就是研发带撕裂模磁岛自洽演化过程的GTC code。但是这又回到前面的所谓“刚性”问题。如何在物理模型和计算方法两方面双管齐下予以解决，还是巨大的挑战。