你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗？

全体自然数的和是-（1/12），也就是1+2+3+4+5+……= -1/12

这个说法听上去就很唬人，那么到底是不是真的呢？又怎么会流传出这种说法的呢？

这一集里面我们都能找到答案。

视频链接

腾讯视频：

https://v.qq.com/x/page/z0788uf5fg7.html

哔哩哔哩：

https://www.bilibili.com/video/av35623705

秒拍：

http://gslb.miaopai.com/stream/prZ31l8udwoXwoMT5LniXTOlnU0AjhM0oR~~VA__.mp4

部分评论

枪林弹幕雨：

课程要点：黎曼猜想的内容(字认识就行，本章结束后才能理解)，自然数之和悖论的理解(大概了解，不至于被伪科学忽悠)，解析和幂级数，解析延拓难点：解析延拓的定义和运用难点解析：主要举了两个栗子①y=x(–1<x<1)**这个函数在其定义域内的趋势很容易延伸定义域外即直线y=x,这个过程可以换个方法理解，在定义域内原函数很容易表示成幂级数y=x0+(x–x0)，这个幂级数总是收敛的，因此原函数在定义域外通过解析延拓得到的表达式为y=x②等比级数f(x)=1+x+x²+x³+…根据等比数列求和前k项S(k)=1+x+x²+…+x^(k-1)=(1-x^k)/(1-x),(x≠1)考虑-1<x<1时k→∞,S(k)→1/(1-x)S(k)是收敛的;x>1或 x<-1时k→∞，S(k)→∞S(k)是发散的，即f(x)的收敛半径是(-1，1)收敛于1/(1-x),通过解析延拓在x≤-1或x>1时f(x)得到的表达式为y=1/(1-x)

反应不可逆：

（持续更新）建议了解的概念：1.*限/收敛/发散2.函数的定义域/值域3.虚数/复数，复变函数4.解析/解析函数/解析延拓5.幂级数开始增加难度了，对数学感兴趣的同学们，一定要自信地坚持学习啊(°∀°)ﾉ

Sybil_H：

风云之声会提前几天先发文字版，建议看不懂的同学可以先看文章预习一下，因为看文章的进度可以自己掌控，不像看视频反复回退那样有挫败感。为了坚持下去，我也是很拼了。

原文参考：理解黎曼猜想（三）你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗？ | 袁岚峰

在前两期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰和理解黎曼猜想（二）两个自然数互质的概率是多少？ | 袁岚峰，视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488和https://www.bilibili.com/video/av35082418）中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。到目前为止，我们讲的都是欧拉的工作，正主黎曼还没出来呢！

那么黎曼究竟做了些什么呢？黎曼做了很多事情，他的基本目标就是对质数的分布获得一个明确的表达式。在这个过程中他做出了一个**的猜想，就是黎曼猜想。与此同时，他的推导过程有一个副产品也变得非常**，在普通公众中的名气甚至比黎曼猜想还要大得多。这个副产品是什么呢？就是下面这个式子：

全体自然数的和等于-1/12，你八成听说过这个说法，对不对？！

实际上，我的不少朋友不但是听说过这个说法，而且是真的相信了，真的是按照字面上理解这个说法。这样一来，就造成了严重的矛盾：自然数依次相加，不是应该越来越大，超过任何限制吗？怎么可能得到一个有限的值？更不可思议的是，怎么还能得到一个负值？正数加正数只可能得到正数，怎么会变成负数？

按照这样想下去，就越想越可怕了。难道常识都是靠不住的？难道数学是一门违反常识的学科？难道数学家是一群阴谋家，他们向大众隐瞒了许多可怕的秘密？……

爱德华·蒙克《呐喊》

更加令公众恐慌的的是，还有不少所谓的科普节目沿着这个调调搞了不少大新闻。他们典型的说法就像这样：

“这个计算是数学中隐藏得*好的秘密之一，数学家之外没人知道这件事。”

“这是一个惊悚的结果。”

“这确实有悖常识，因为你内心总想让这个序列停下来，而一旦序列停止，你就再也没法理解这个结果。”

“在数轴的无穷远处，蕴藏着崭新的数学体系等待我们建立。”……

于是乎，我的不少朋友就来忧心忡忡地问我。用他们的话说，简直是世界观都要崩溃了！

好吧，我们就借这个机会，向大家讲清楚这个所谓“全体自然数的和等于-1/12”是怎么回事。还有许多跟它类似的说法，例如所谓“无穷多个1加起来等于-1/2”，“全体自然数的平方和等于0”，都是同样的道理，我们顺便可以一网打尽。

**，来告诉大家基本的答案：你的常识是正确的，这些说法都是错误的，数学并没有推翻常识。数学家也不是阴谋家，数学家没有向你隐瞒任何东西。你完全不需要害怕，完全可以保全你的世界观和安全感。

然后，这些说法虽然是错误的，但也并不是毫无意义的胡说八道。只要改造一下，它们都可以变成有意义的。正如那句俗话所说：我觉得我还可以再抢救一下！

我觉得我可以再抢救一下

抢救什么呢？就是抢救这些说法中的“和”的定义。也就是说，如果按照*基本的加和方法，1加2等于3，3加4等于7等等，那么这些说法都是胡扯。但如果定义一些其他的加和方法，那么这些说法可以变成正确的。

下面，我们就来讲黎曼是在什么意义上，算出了全体自然数的和等于-1/12。

在前两期中，我们已经讲过，研究质数分布的基本出发点是欧拉乘积公式：

这个公式左边的n指的是所有的自然数，1、2、3、4、5等等，右边的p指的是所有的质数，2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量，当且仅当s > 1的时候，欧拉乘积公式成立。

数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和，用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式，我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：

让我们把欧拉乘积公式左边的这个无穷级数记为ζ(s)（ζ是一个希腊字母，发音zeta）。我们再次强调一下，欧拉乘积公式只在s > 1的时候成立，在s ≤ 1的时候是不成立的。为什么呢？原因我们在上一期节目中解释了，ζ(1)，也就是全体自然