刚体姿态的数学表达(三)：罗德里格矢量-百检网

首页
中国
刚体姿态的数学表达(三)：罗德里格矢量

1. 凯莱－克莱因参数

前篇博文“刚体姿态的数学表达(二)：欧拉参数与四元数”里叙述了欧拉参数和四元数，作为表达刚体转动的有效数学工具。本文叙述所引申出的另外两种表达方式。

1845 年英国数学家凯莱(Cayley,A., 1821-1895)在提出四元数概念后，又于1874年和德国数学家克莱因(Klein,F.C.)（图1, 2）提出用4个复数a, b, c, d组成的2×2矩阵Q，称为凯莱－克莱因矩阵：

(1)

参数a, b, c, d是以实数λk (k= 0,1,2,3) 组成的复数，其中a与d，c与 -b互为共轭：

(2)

若将参数λk(k= 0,1,2,3)理解为欧拉参数，则a, b, c, d成为欧拉参数的另一种表达形式，称为凯莱－克莱因参数 (Cayley- Klein parameters)[1,2]。利用凯莱－克莱因参数表示的欧拉参数为

(3)

图1 凯莱(A.Cayley, 1821-1895)

图2克莱因(Klein,F.C.,1849~1925)

将式 (2) 代入用欧拉参数表示的有限转动矩阵A:

(4)

成为有限转动矩阵A用凯莱－克莱因参数表示的另一种形式：

(5)

将式 (2) 代入凯莱－克莱因矩阵 (1) ，可直接导出|Q| = 1，且Q的逆矩阵与共轭的转置矩阵Q^{H相等，证明Q为正交矩阵。凯莱－克莱因参数作为欧拉参数的替代形式，对刚体有限转动导致矢量位置变化的计算过程似无实质性影响。利用凯莱－克莱因矩阵Q的线性变换属于经典力学的研究内容。所引申出的关于复数空间内的变换问题多限于数学范畴。}

2．罗德里格矢量

罗德里格矢量是从四元数演化产生的数学概念。他在提出利用半角公式创造参数λk(k= 0,1,2,3) 的同时，还提出一种简化方案（图 3）。即将其中的λk (k= 1,2,3)与λ0相除，转化为与半角正切成比例的 3 个独立参数，称为罗德里格参数（Rodriques parameters）[3]。

(6)

图3 罗德里格 (B.O.Rodrigues, 1794~1851)

这一改变消除了四元数里的标量λ_{0，仅剩下由ρk(k= 1,2,3)定义的以转角之半θ/2的正切 tan(θ/2) 为模，沿转动轴p方向的矢量ρ：}

(7)

矢量ρ称为罗德里格矢量（Rodriques vector）^{[3]。也有文献以吉布斯（Gibbs,J.W.）命名，似根据不足。罗德里格参数与四元数之间有以下关系：}

(8)

其中ρ= tan(θ/2)为矢量ρ的模。将上式代入用四元数表达的有限转动张量A：

(9)

化作

(10)

与四元数相比，罗德里格参数是与刚体转动自由度数相等的独立变量。虽然存在正切函数的奇点问题，但有效范围比欧拉角或卡尔丹角明显扩大。是工程技术问题中实际采用的描述刚体有限转动的有效数学工具。

3．改进的罗德里格矢量

罗德里格参数构成的矢量ρ与四元数里的λ矢量均沿转动轴p，仅矢量的模由 sin(θ/2) 变为 tan(θ/2)。当θ趋近±π时，罗德里格参数因 tan(θ/2) 无限增大而出现奇异性。但与欧拉角的奇点 0 或卡尔丹角的奇点±π/2相比，罗德里格参数有更大的有效范围。只要转角θ的变化不超出 (-π, π) 范围，罗德里格参数就能有效使用。

罗德里格参数还有进一步改进的余地。1987 年马兰迪（Marandi,S.R.）等人在论文中提出[3]，只要将罗德里格参数中的tan(θ/2)改为tan(θ/4)，就能使θ的奇异位置从±π变为±2π，使有效使用的范围实际上不受限制。将所构成的新参数记作rk(k= 1,2,3)，定义为

(11)

作为新的罗德里格矢量r=ptan(θ/4)，与四元数之间有以下关系：

(12)

其中r=tan(θ/4)为矢量r的模。代入式 (9) 表示的有限转动张量A，化作

(13)

对于确定的基，也可列出相应的有限转动矩阵用于实际计算。

参考文献

[1] Klein F. über binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst. Mathematische Annalen, 1874, 9: 183-208.

[2] Cayley A. On the correspondence of homographics and rotations.Mathematische Annalen. 1879,15:238-240

[3] Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace, et de la variation des coordonnées provenant de ses déplacements consideérés indépendamment des causes qui peuvent les produire. Journal des Mathematiques Pures et Appliquées, 1840, 5: 380-440.

[4] Marandi SR, Modi VJ. A preferred coordinate system and the associated orientation representation in attitude dynamics. Acta Astronautica, 1987, 15: 833-843.

（改写自：刘延柱. 高等动力学(第二版)，4.1节. 北京：高等教育出版社，2016）