认识一个最简单的费曼图

二维$\delta$-势$V({\bf x}) = \lambda \delta({\bf x})$中的应用此时，我们有\begin{equation} {1\over \lambda} = \sum_{\bf k} {1 \over E - k^2} = -\sum_{\bf k} {1 \over |E| + k^2} . \end{equation}

我们经常定义格林函数$G({\bf k}) = {1\over m^2 + k^2}$, $m^2= |E|$. 那么这个结果为

\begin{equation} {1\over \lambda} = -\sum_{\bf k} G({\bf k}) . \end{equation}

这个积分可能发散，所以需要用到重整化。我们要强调

对于二维模型，这个发散可以通过一个结合能实现，所以定义

\begin{equation} {1\over \lambda_R} =-\sum_{\bf k} {1\over e_b + k^2}. \end{equation}

从而得到

\begin{equation} {1\over \lambda_R} -{1\over \lambda}=-\sum_{\bf k} {1\over e_b + k^2} -{1 \over |E| + k^2} = {1\over 4\pi} \ln {|E| \over e_b}.\end{equation}

这样的表达式或者这样的图在计算费曼图时会反复出现，图越简单，出现的频次越高。理解这些图的特点，是理解很多多体物理的核心。

Edwards-Winlkson模型中的涨落效应。考虑动量空间的布朗运动，它的方程满足

\begin{equation} \partial_t h({\bf x}, t) = -r h + \nu \nabla^2 h + \eta. \end{equation}

那么在动量空间，可以得到布朗运动

\begin{equation} \partial_t h({\bf k}, t) = -(\nu k^2 + r) h({\bf k}, t) + \eta({\bf k}, t). \end{equation}

这个解是显而易见的，我们得到

\begin{equation} h({\bf k}, t) = e^{-(r + \nu k^2) t} h({\bf k}, 0) + \int_0^t e^{-(r + \nu k^2) (t-t')} \eta({\bf k}, t') dt'. \end{equation}

我们可以计算得到，当$t\rightarrow \infty$时，

\begin{equation} G({\bf k}) = \langle h({\bf k}, t)h(-{\bf k}, t)\rangle = {1\over r + \nu k^2}. \end{equation}

如果我们计算

\begin{equation} \langle h^2\rangle = \sum_{\bf k} \langle h({\bf k}, t)h(-{\bf k}, t)\rangle= \sum_{\bf k} G({\bf k}). \end{equation}

散射过程中对质量的修正。我们如果考虑$\phi^4$理论，那么对质量的自能修正的**项就是这个图。我们有

\begin{equation} \Sigma = g \sum_{\bf k} G({\bf k}). \end{equation}

BEC中热原子对凝聚体的贡献。我们可能需要计算

\begin{equation} \sum_{\bf k} g a_0 a_0 \langle a_{-{\bf k}} a_{\bf k} \rangle \sim g_0 a_0^2 \sum_{{\bf k}} {1\over E_{\bf k}} \sim \sum_{{\bf k}} {1\over k^2 + \mu}. \end{equation}

这个结果也和这个圈图有关。这个结果本质上和第3点是一样的。